اسمبل كردن ماتريس سختي و ماتريس نیرو در المانهاي دوبعذي:

Transcript

1 عریف ش د.ت اسمبل كردن ماتريس سختي و ماتريس نیرو در المانهاي دوبعذي: ث ه ظ ر اسوجل کزدى هبتزیس بی سختی یز ثبیذ هطخصبت آ ب ) ظیز ضوبر گز ب هختصبت گز ب )... در ضوبر گذاری الوب ب الشاهی ج د ذارد ک ضوبر بی گز بی ز الوبى ثؼذ اس آخزیي گز الوبى قجلی اداه یبثذ.. اثؼبد هبتزیس سختی کل ث ػ اى هثبل ثزای ضکل سیز دارین: n n است )n تؼذاد گز بی کل(. Element : [ 6] Element : [ 5 6] 5-5 اثتذا هبتزیس سختی ز الوبى را تطکیل هی د ین در هزحل ثؼذ درای ب ی هبتزیس سختی ز الوبى را در هحل ضوبر هت بظز ز گز در هبتزیس کل جبیگشیي هی وبیین.

2 برای اسمبل کردن ماتریس یز نیز ماننذ ماتریس سختی عمل می نماییم. اعمال شرایط مرزی: ز د سطز د ست ى هجب ر ن در هبتزیس سختی الوب بی د ثؼذی ثیب گز تؼبدل در راستبی y x است اس ایي ر ثزای اػوبل ضزط هزسی دیزیکل )تغییز هکب ی( هی ت اى در سطز ست ى بی هزث ط ث گز ه رد ظز صفز قزار داد فقط درای ای اس آى سطز ست ى ک ن ضوبر ثب گز ه رد ظز است را یک در ظز گزفت. در هبتزیس یز ن هت بظز ثب درای بی هبتزیس سختی در سطز بی هزث ط صفز قزار داد هی ض د. ث ػ اى را حل دیگزی ج ت اػوبل ضزایط هزسی دیزیکل وچ یي ث ه ظ ر کب ص حجن هحبسجبت هی ت اى سطز ست ى هزث ط ث گز را در ج بتی ک دارای ضزط هزسی دیزیکل ست ذ را حذف و د. در هقبثل سطز بی هت بطز ثب هبتزیس سختی ثبیذ سطز بیی اس هبتزیس یز یش حذف ض ذ. ت ج ض د ک ضزط هزسی ی هي ) یز یی( فقط در هبتزیس یز اػوبل هی گزدد در هبتزیس سختی تغییزی ایجبد وی ک ذ..ک اػوبل ضزط هزسی ی مى ت سط خ د ر اثط تطکیل د ذ هبتزیس یز در ظز گزفت هی ض د یبسی ث اػوبل آى ث ص رت هجشا ج د ذارد لی ضزط هزسی دیزیکل ثبیذ ث ص رت هجشا در هبتزیس F K اػوبل ض د.

3 ث ػ اى هثبل ثزای اػوبل ضزط هزسی دیزیکل در ضکل سیز دارین: اگز هبتزیس سختی یز ثزای ضکل ف ق ث ص رت فزضی سیز ثبض ذ آ گب ثزای اػوبل ضزایط هزسی دیزیکل دارین:

4 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k [K]= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f F= f f f f x y x y x y x y گز فقط در راستبی y داری ضزط هزسی دیزیکل اعمال شرایط مرزی ماتریس سختی: ثزای اػوبل ضزط هزسی دیزیکل گز در ز د راستبی y x هی ثبض ذ. k k k5 k7 k 8 k k k5 k 7 k 8 [K]= k 5 k 5 k 55 k 57 k 58 k7 k7 k75 k77 k 78 k8 k8 k85 k87 k88 هی ت اى ضزط هزسی دیزیکل را ث ص رت حذفی در ظز گزفت. در ایي ص رت دارین:

5 k k k k k k k k k k [K]= k k k k k k k k k k k k k k k f x fy F= f x fx f y f f F= f f f x y x x y ماتریس نیرو: ث ر ش حذفی دارین: 5

6 مثال -5 :محاسبه تغییر مکان المان تحت اثر نیروی مرزی)حل معادله کلی اجسای محذود(: ثبت ج ث هسبئل االستیسیت خطی ثزای ضکل غیز ه ط ری سیز ثب هطخصبت داد ضذ هقذار تغییز هکبى را در هحل گز ب هحبسج وبییذ هیشاى ت ص کز ص را در قبط گ س ثذست آ ریذ. هسبل را حبلت ت ص هسطح حل وبییذ. E v. 7 Pa حل: ثزای حل اس الوبى Q ک وبى الوبى چ بر ج ی چ بر گز حبلت ت ص صفح ای ثب استفبد اس ضزایت داد ضذ هی یبثین: ای است استفبد هی وبیین. اثتذا هبتزیس D را ثزای E ν ν. ν.5 7 D ν.. 6

7 e e x y e e e e x y x y = = x e e y.5 e e x y هختصبت قبط گز ی ثزاثز است ثب: ξ ξ η η N ξ, η ξ η ξ ξ η η Q ξ ξ η η N ξ, η ξ η ξ ξ η η Q ξ ξ η η N ξ, η ξ η ξ ξ η η Q ξ ξ η η N ξ, η ξ η ξ ξ η η Q تبثغ بی ضکل ثزای الوبى چ بر گز ی ث ص رت سیز هی ثبضذ: N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) ثب کوک تبثغ بی ضکل ثبال صاک ثیي را ث ص رت سیز هی یبثین: J N N N N x y Q Q Q Q e e e e e ξ ξ ξ ξ x y Q Q Q Q e e N N x N N y e e η η η η x y η η η η.5η.75 ξ ξ ξ ξ.5.5ξ.5 7

8 دتزهی بى صاک ثیي یش هؼک س صاک ثیي ثزاثز است ثب: e J.5η.75 8 وب گ ک هی دا ین هبتزیس B +ξ e - -η [j ] = 8 η- هبتزیسی است ثب اثؼبد nک n تؼذاد گز ب هی ثبضذ. ث بثز ایي هبتزیس ه رد ظز Q Q Q Q N N N N x x x x N N N N [B ] y y y y N N N N y y y y x x x x Q Q Q Q e Q Q Q Q Q Q Q Q N N N N x 8 هی ثبضذ. دارین: حبل ثب استفبد اس ر ش گ س د قط ای ثزای الوبى سوت راستی را ثیبثین. قبط گ س سى بی آى ب ػجبرت ذ اس: چ برگز ی قصذ دارین ا تگزال هزث ط ث هبتزیس سختی ثزدار ξ, ξ η, η. w w () e e e e e e e [K] K B D B dω B D B J dξdη i j Ω w.w. J ξ,η.b ξ,η.d.b ξ,η e e e e i j i i 8 x 8 خ ا ذ ث د. هبتزیس سختی ثبیذ اس راثط ف ق ثذست آیذ. در اقغ هب ثب 8 x 8 ثزای سختی ثذست. ثذی ی است ک ایي حجن س گیي هحبسجبت. ث ویي دلیل است ک در ایي درس تبکیذ ثز راثط هبتزیس سختی ثزای ا تگزال گیزی ػذدی ث فزم سیز در هی آیذ: هی دا ین ک هبتزیس سختی هبتزیسی کوک راثط ز ثبر ثبیذ در یک قط گ س هبتزیس سختی را ثیبثین سز آخز چ بر هبتزیس هی آیذ ک اس جوغ ایي چ بر هبتزیس هبتزیس سختی کلی ثذست هی آیذ ثزای ایي هسبل سبد ثسیبر ثشرگ هی ثبضذ یبس ث دقت سیبدی دارد ثز به یسی هی ثبضذ سیزا ثزای حل دستی ثبیذ یکسزی ػولیبت تکزاری ا جبم د ین ک ایي کبر را کبهپی تز ث راحتی ثب ضتي ثز به ا جبم هی د ذ. در اداه ثزای قط ا ل گ س هبتزیس سختی را هی یبثین سپس هبتزیس کلی را ک ت سط ثز به MALAB ثذست آهذ هی آ رین. ث بثز ایي ثزای قط گ س ا ل دارین:

9 ξ =-, η =- Q Q Q Q Q Q Q Q N N N N N N N N x x x x e ξ ξ ξ ξ Q Q Q Q J ξ,η Q Q Q Q N N N N N N N N y ηy y y η η η η ξ,η ξ,η B N N N N x x x x N N N N y y y y N N N N N N N N y x y x y x y x ثزای قط گ س ا ل ث ص رت سیز ثذست هی آیذ. K ξ,η =w w B ξ,η D B ξ,η J ξ,η e e e e e e K ξ,η هقذار e e K K ξ i,ηi i j e K ξ gp,ηgp ثب جوغ ثزای توبهی قبط گ س هبتزیس سختی الوبى ثذست هی آیذ. 9

10 [K ]= e SYM اس آ جبیی ک فقط ر ی ضلغ - ثبر خبرجی ج د دارد پس هی ت اى ا تگزال گیزی را فقط ر ی هزس ی هي - حسبة و د. در ضلغ - ξ ثبثت ث د ) -( لی η هتغییز هی ثبضذ. { f } [ N ] { b} d [ N ] { t} d { f } [ N ] { t} d. هزس - در t t حبل قصذ دارین ثزدار یز بی هزسی را ثیبثین. ثزای یبفتي ایي ثزدار راثط سیز را دارین: ث ػلت ای ک یز بی حجوی ج د ذارد ا تگزال ف ق ث ضکل سیز در هی آیذ: - الوبى فیشیکی قزار دارد یز ی هزسی در ثقی لج ب ی هي صفز است { f } [ N ] { t} d [ N ] (, ) d t هی ثبضذ ک اس - تب تغییز ت ب یز بی ارد در هزس الوبى فیشیکی هت بظز ثب قط در الوبى پبی هی ثبضذ. ث بثز ایي دارین: وب گ ک هطب ذ هی گزدد در ا تگزال ف ق ت ب ػبهلی ک هتغییز است هختصبت هی ک ذ. ایي ا تگزال ثب ر ش تحلیلی ث راحتی ثذست هی آیذ اهب ثزای حبلت کلی ثب کوک ر ش گ س هی ت اى هقذار ا تگزال ثذست آ رد. ثذیي ه ظ ر هی ت اى د ر ش را ثکبر ثزد یکی در توبم تبثغ بی ضکل اثتذا هقذار را قزار د ین سپس ثب استفبد اس گ س د قط ای سجت دادى ایي قبط ث ), ( (, ( ا تگزال را حل و د یب ای ک اس اثتذا ثذ ى هقذار دادى ث هؼبدل را حل و د: ا تگزال را هب ذ ر ش یک ثؼذی در قبط قبط سیز را در ظز گزفت (, ) (, ) (, ) (, ) حبل هقذار ثزدار یز بی هزسی ثب ر ش تحلیلی هی یبثین:

11 { f } [ N ] { t} d [ N ] (, ) d t ثزدار t ث ایي دلیل ک یک ه لف در راستبی x یکی در راستبی y دارد ث ص رت هبتزیس x در آهذ است. ه لف در راستبی y ثزاثز - ثزدار در راستبی x ثزاثز صفز است. ت ج داریذ ک ا تگزال ( N (, در ثبس داد ضذ ثزای تبثغ بی ضکلی ک در ج د دار ذ ثزاثز یک است. ثب تزکیت )assemble( ثزدار یز بی هزسی ثب ػکس الؼول بی اػوبلی ث ز گز دارین: R x R y R x R y f u R و u x u y u x u y ت ج ک یذ ک ثبری ک ث گز بی ارد هی ض د ثزاثز ثبر خطی هی ثبضذ. ث ویي دلیل در قط ػکس الؼول u هی ت اى گفت ک تکی گب ی در راستبی y اس هقذار یز ی اػوبلی ث هزس - کن ضذ است. وچ یي ثزای ثزدار ثزای قبط ک تزسط تکی گب ثبثت ضذ ا ذ یچ تغییز هکب ی ذارین اهب در سبیز قبط ) ( در ز گز د درج آسادی ا تقبلی دارین. در بیت هؼبدل کلی هب ث ص رت سیز در هی آیذ:

12 R x R y R x R y u x SY M.8..5u y.59.5 u x.67 u y حبل ثب استفبد اس سطز بی 5 تب 6 هبتزیس بی هؼبدل ثبال تغییز هکبى بی هج ل را هی یبثین: u x u y u x SMY.67 u y u x.7 u y or u u x.67.7 u y الجت هی ت اى ثجبی قبط گ س در قبط ر ی الوبى فیشیکی یش هقذار ت ص کز ص را یبفت. فقط در ایي حبلت ثبیذ قبط هت بظز را در هختصبت الوبى در ر اثط ف ق جبیگذاری و د. ثب داضتي تغییز هکبى قبط گز ای هی ت ا ین کز ص ت ص را در ε e xx e e e i i yy i i ε ξ,η = ε =B ξ,η.u γ xy σ ξ,η i e xx e e e i i yy i i σ ξ,η σ D.ε ξ,η σ xy i i ξ,η i ز قط اس الوبى هحبسج وبیین. پس ثزای قبط گ س دارین:

13 .6 e e e 7 ε ξ,η B ξ,η.u e e e σ ξ,η D ε ξ,η e e e 7 ε ξ,η B ξ,η.u e e e σ ξ,η D ε ξ,η e e e 7 ε ξ,η B ξ,η.u.5.. e e e σ ξ,η D ε ξ,η e e e 7 ε ξ,η B ξ,η.u e e e σ ξ,η D ε ξ,η.8.9

14 مثال -5: مساله االستیک در المان مثلثی در ضکل هقبثل در ج AB در راستبی x تکی گب دارین در لج BC جبثجبیی در راستبی y ذارین در راستبی xجبثجبیی آساد است. E,. N m ضزایط هزسی را ثسبسیذ. هبتزیس سختی-ثزدار یز را یبفت هؼبدل کلی را حل وبییذ ضزایت هج ل )u( را ثیبثیذ..5,.5 ت ص را در قط هحبسج ک یذ.... cos j, sin j t n 5sinn 5 5 on x x x x tx t n 5cosn 5 5 on u on, AB u y y y x ty x y ux on, BC uy Step: Step :. 7 D.. x i, y j =.5 Step: N N N N N, N N, N N,

15 Step: calculate J? N N N x y J x = y N N N J del J 9 J N N N x x x Step : N N N y y y N N N x x x N N N y y y B x y N N N N N N y x y x y x B e e 9,A bh A 9 k AB DB B D B 5

16 k SMY Step6 : calc FMARIX: 7.5e e e e F N. t d N. b d t e....e N N N 5 i Ft : N. t d Jd N Ac 5 j N N 5 / 5 5 / 5 / 5 / 5 / 5 5 / 5 / F Ft 5 / 5 / 5 / u k f 7 6 u x.e 7e u x 5 / u x 6. u k 6 7 7e.e u y 5 / u y. u y 7 6

17 ..5,.5 ثبیذ ت ص را در س راس ثیبثین سپس ثب هیب یبثی هقذار ت ص را در قط هشث ر ثیبثین.. ت ص در قط.5,.5 B.5,.5 u.8 6.e.8 6.e..8 7 D N i, f x N ix i x.5 y N iy i y.5,.6e.5 e,.77e

18 E Pa,. مثال -5: مساله االستیک در المان مثلثی ثزای ضکل سیز هبتزیس سختی را ثذست آ رد هؼبدل کلی را حل کزد ثزدار هج الت را ثیبثیذ. Step:. 7 D...5 Step : x i y i.. N N Step: N,, N N N N N,, N N,, Step : J N N N,, N N N x y x y...5 J, J., J..5 8

19 Step : N N....5, N N 5..., , B, Step5: k, w w B 88, DB, J k k, i j i j J k

20 Step 5 : calc force Matix F N. t d N. b d N. t d t t F N. t d N. t d N. t d t,,, N N t Ft d j N N Ft d R x R y Ft F F R u x ux ux u u y y u y u k u u x x u x u u y y uy u x u y u x u y e

21 u e ,.5,

22 مثال -5: سطز ا ل هبتزیس B را ثزای هثلث ضص گز ی ثسبسیذ. x, y i i P x, y x y x xy y. 5 constructiuy the Shape Fuaetion x y P x y M x y M P x y N,, N,, x y x xy y N N N N N N N N N,, N N N N N 5 6 N N,, N N,, N N, 8, N5 N5,, N 6,, N 6 8

23 x y N N J.. N N x y J, J J J B N N N N N 5 N 6 N N N N N 5 N 6 N N N N N N N N N 5 N 5 N 6 N 6 8 B وب ط ر ک هطب ذ هی وبیین در هبتزیس B اس تبثغ بی ضکل هحلی استفبد ضذ است. ػلت آى است ک هثلث ه رد ظز استب ذار است یش تبثغ بی ضکل را اس رثط کلی ثذست آ رد این

24 مثال 5-5: ضکل سیز را در ظز ثگیزیذ. توبم اثؼبد ثز حست هتز ست ذ. هبتزیس سختی ثزدار یز را ثزای ضکل ثیبثیذ F N. t d N. b d F t t t N. t d,. j, i ثیبثیذ. x, حبل هی خ ا ین ثزدار t را در راستب بی y N.5.6.i ty , tx=6 =. t m j نیروبه لبه - اعمال گردیذه است. انتگرال روی مرز را می توانیم به حالت یک بعذی تبذیل کرده و از تابع های شکل زیر استفاده نماییم: N, N N N d = Ft t J dt N N, F t, F t

25 .. مثال 6-5: ضکل سیز را در ظز ثگیزیذ هسئل را ت ص صفح ای فزض وبییذ ضزایط هزسی ث ص رت سیز است )دیزیکل ( N هب ذ ضکل هی ثبضذ. uaxدر uay uby ز هزس ثزداری ت ص دارای د هؤلف قبئن جب جی ثب هقذاری ثزاثز ثب m ثب استفبد اس الوبى چ بر ج ی ک در سیز وبیص ضذ است. ثزای راحتی ضوبر گذاری الوبى فیشیکی پبی را یکسبى در ظز ثگیزیذ. تغییز هکبى ت ص بی گز ی را در قبط گ س ثیبثیذ. E Step: N,. m.. D Step : x i, y j x i, y j N, N N, N N N N N Step:,,, N N N N,,, 5

26 Step: J? J J ok J Step : B?, use Qavss tuadrature,, w w at,, Ni Ni... x J J N i, i jni... y i, j B,

27 Step5:,,,, k w w B DB J k k i j k e, i j SMy Step6: F N. t d N. t d N. t d N. t d t,,, N N i Ft, J d N N j N N F i t, J d N N j N N Ft J d, N N 7

28 Rx Ry Ry Fe F+Reaetion Rx Ry u x u x Ry u= k n u 88 x u x uy uy u x u x u y u y ست ى سطز ا ل د م چ برم هؼبدالت ف ق را حذف هی وبیین u k f u..6. u u u u u x x y x y 8

29 .89 8 u..6. Step7 : calculate strain: i, j yy B i, j xx xy u for,, B, ,., D, ,., ,., ,.,

30 مثال 7-5: -در ضکل هقبثل هبتزیس سختی یز ی هؼبدل گز ی ثبر هزسی را ثذست آ ریذ. ضکل هبتزیسی یز ی حجی را ث یسیذ. Ϭ=Y E= ν.5 ν E plane stress D ν ν ν 6 xi yi 6 N ζ, η ζ η N ζ, η ζ η N ζ, η ζ η N ζ, η ζ η dn dn dn dn dξ dξ dξ dξ [j]= xi y i dn dn dn dn dη dη dη dη

31 6 j 6 6 =.5 j =.5, j = / / j = k = B DB j dξdη = j ξ i, η j B ξ i, η j DB ξ i, η j w i w j i= j = dn dx dn dy dn dx dn dy dn dx dn dy dn dx dn dy = j dn dξ dn dη dn dξ dn dη dn dξ dn dη dn dξ dn dη GP ξ =, η = dn dx dn dy dn dx dn dy dn dx dn dy dn dx dn dy = / / = هبتزیس B یک هبتزیس n ث ضکل سیز است : B = B = dn dy dn dx dn dy dn dx dn dn dx dx dn dy dn dn dx dy dn dy dn dx dn dy dn dx dn dy dn dy K = k, + k +, + k +, dn dx + k, +

32 K = F t = K fx fx u u u u u 5 u 6 u 7 u 8 = F u u u u u 5 u 6 u 7 u 8, F b = = fy fy fy fy u u v v, K u = F سطز ا ل ست ى ا ل هبتزیس سختی حذف هی ض د. سطزد م ست ى د م هبتزیس سختی حذف هی ض د.

33 مثال 8-5: ثبت ج ث هسبئل االستیسیت خطی ثزای ضکل غیز ه ط ری سیز ثب هطخصبت داد ضذ هقذار تغییز هکبى را در هحل گز ب هحبسج وبییذ هیشاى ت ص کز ص را در قبط گ س ثذست آ ریذ. هسبل را حبلت ت ص هسطح حل وبییذ. E = 7 Pa v =. حل: ثزای حل اس الوبى Q ک وبى الوبى چ بر ج ی چ بر گز ی است استفبد هی وبیین. اثتذا هبتزیس D را ثزای حبلت ت ص صفح ای ثب استفبد اس ضزایت داد ضذ هی یبثین: D = E ν ν ν ν = هبتزیس هختصبت رئ س ثزاثز است ثب:

34 x e y e = e e x y e e x y e e x y e e x y =.5 تبثغ بی ضکل ثزای الوبى چ بر گز ی ث ص رت سیز هی ثبضذ: N Q ξ, η = ξ ξ ξ ξ η η η η = N Q ξ, η = ξ ξ ξ ξ η η η η = N Q ξ, η = ξ ξ ξ ξ η η η η = ξ η, + ξ η, + ξ + η, N Q ξ, η = ξ ξ η η ثب کوک تبثغ بی ضکل ثبال صاک ثیي را ث ص رت سیز هی یبثین :, η = ξ ξ η η ξ + N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) Q Q Q Q e e N N N N x y e e e x y J Q Q Q Q e e N x N N N y e e x y دتزهی بى صاک ثیي یش هؼک س صاک ثیي ثزاثز است ثب: e J =-.5η+.75

35 +ξ e - -η J = 8 η- ث بثز ایي هبتزیس ه رد ظز x 8 وب گ ک هی دا ین هبتزیس B هبتزیسی است ثب اثؼبد x n ک n هی ثبضذ. دارین: تؼذاد گز ب هی ثبضذ. Q Q Q Q N N N N x x x x e N N N N [ B ] y y y y N N N N y y y y x x x x Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q N N N N حبل ثب استفبد اس ر ش گ س د قط ای ثزای الوبى چ برگز ی قصذ دارین ا تگزال هزث ط ث هبتزیس سختی ثزدار سوت راستی ξ =-, ξ = η =-, η =. w =w = () e e e e e e e K=K [B ] [ D ][ B ] dω [B ][ D ][ B ] J dξdη i j Ω [B ξ,η ] [D ] [ B ξ,η ] J ξ,η w.w e e e e i i i j 8 x 8 خ ا ذ ث د. هبتزیس سختی ثبیذ اس راثط ف ق ثذست آیذ. در اقغ هب ثب کوک راثط 8 x 8 ثزای سختی ثذست هی آیذ ک اس جوغ. ثذی ی است ک ایي حجن س گیي هحبسجبت ثزای ایي هسبل سبد ثسیبر. ث ویي دلیل است ک در ایي درس تبکیذ ثز ثز به یسی هی ثبضذ سیزا ثزای حل. در اداه ثزای را ثیبثین. قبط گ س سى بی آى ب ػجبرت ذ اس: راثط هبتزیس سختی ثزای ا تگزال گیزی ػذدی ث فزم سیز در هی آیذ: هی دا ین ک هبتزیس سختی هبتزیسی ز ثبر ثبیذ در یک قط گ س هبتزیس سختی را ثیبثین سز آخز چ بر هبتزیس ایي چ بر هبتزیس هبتزیس سختی کلی ثذست هی آیذ ثشرگ هی ثبضذ یبس ث دقت سیبدی دارد دستی ثبیذ یکسزی ػولیبت تکزاری ا جبم د ین ک ایي کبر را کبهپی تز ث راحتی ثب ضتي ثز به ا جبم هی د ذ قط ا ل گ س هبتزیس سختی را هی یبثین سپس هبتزیس کلی را ک ت سط ثز به MALAB ثذست آهذ هی آ رین. ث بثز ایي ثزای قط گ س ا ل دارین : - - ξ =, η = 5

36 Q Q Q Q Q Q Q Q N N N N N N N N x x x x e J, Q Q Q Q Q Q Q Q N N N N N N N N y y y y,, B N N N N x x x x N N N N y y y y N N N N N N N N y x y x y x y x هقذار K e ξ, η ثزای قط گ س ا ل ث ص رت سیز ثذست هی آیذ. ] K ξ,η =[B ξ,η ] [D [ B ξ,η ] J ξ,η w w e e e e e ثب جوغ K e ξ gp, η gp ثزای توبهی قبط گ س هبتزیس سختی الوبى ثذست هی آیذ. e e K K ξ i,ηi i j 6

37 = SYM.5.67 اس آ جبیی ک فقط ر ی ضلغ - ثبر خبرجی ج د دارد پس هی ت اى ا تگزال گیزی را فقط ر ی هزس ی هي - حسبة و د. در ضلغ - ξ ثبثت ث د ) -( لی η هتغییز هی ثبضذ. حبل قصذ دارین ثزدار یز بی هزسی را ثیبثین. ثزای یبفتي ایي ثزدار راثط سیز را دارین: ث ػلت ای ک یز بی حجوی ج د ذارد ا تگزال ف ق ث ضکل سیز در هی آیذ: {f}= [N] {b}dω+ [N] {t}dγ Ω {f}= [N] {t}dγ Γ t Γ t ت ب یز بی ارد در هزس - الوبى فیشیکی قزار دارد یز ی هزسی در ثقی لج ب ی هي صفز است. هزس - در الوبى فیشیکی هت بظز ثب قط در الوبى پبی هی ثبضذ. ث بثز ایي دارین: {f}= [N] {t}dγ= [N] (ξ=-,η)dη t Γ - η=- وب گ ک هطب ذ هی گزدد در ا تگزال ف ق ت ب ػبهلی ک هتغییز است هختصبت هی ثبضذ ک اس - تب تغییز هی ک ذ. ایي ا تگزال ثب ر ش تحلیلی ث راحتی ثذست هی آیذ اهب ثزای حبلت کلی ثب کوک ر ش گ س هی ت اى هقذار ا تگزال ثذست آ رد. ثذیي ه ظ ر هی ت اى د ر ش را ثکبر ثزد یکی در توبم تبثغ بی ضکل اثتذا هقذار را قزار د ین سپس ثب استفبد اس گ س د قط ای سجت دادى ایي قبط ث ا تگزال را هب ذ ر ش یک ثؼذی در قبط ), ( (, ( ا تگزال را حل و د یب ای ک اس اثتذا ثذ ى هقذار دادى ث قبط سیز را در ظز گزفت هؼبدل را حل و د: حبل هقذار ثزدار یز بی هزسی ثب ر ش تحلیلی هی یبثین: - (ξ,η )=(-, ) (ξ,η )=(-, ) 7

38 { f } [ N ] { t} d [ N ] (, ) d t ثزدار t ث ایي دلیل ک یک ه لف در راستبی x یکی در راستبی y دارد ث ص رت هبتزیس x ثزاثز صفز است. ت ج داریذ ک ا تگزال در آهذ است. ه لف در ( N (, در ثبس داد ضذ ثزای تبثغ راستبی y ثزاثز - ثزدار در راستبی x بی ضکلی ک در ث ز گز دارین: ج د دار ذ ثزاثز یک است. ثب تزکیت )assemble( ثزدار یز بی هزسی ثب ػکس الؼول بی اػوبلی R x R y- R x R u y u x - u y f Γ +R =, u = u x y ت ج ک یذ ک ثبری ک ث گز بی ارد هی ض د ثزاثز ثبر خطی هی ثبضذ. ث ویي دلیل در قط ػکس الؼول تکی. در کن ضذ است. وچ یي ثزای ثزدار u هی ت اى گفت ک ثزای قبط ) ( در ز گز د درج آسادی ا تقبلی دارین گب ی در راستبی y اس هقذار یز ی اػوبلی ث هزس - ک تزسط تکی گب ثبثت ضذ ا ذ بیت هؼبدل کلی هب ث ص رت سیز در هی آیذ: یچ تغییز هکب ی ذارین اهب در سبیز قبط R x R y R x R y u x SY M.8..5u y.59.5 u x.67 u y 8

39 حبل ثب استفبد اس سطز بی 5 تب 6 هبتزیس بی هؼبدل ثبال تغییز هکبى بی هج ل را هی یبثین: u x u y u x SMY.67 u y u x.7 u y or u u x.67.7 u y الجت هی ت اى ثجبی قبط گ س در قبط ر ی الوبى فیشیکی یش هقذار ت ص کز ص را یبفت. فقط در ایي حبلت ثبیذ قبط هت بظز را در هختصبت الوبى در ر اثط ف ق جبیگذاری و د. ثب داضتي تغییز هکبى قبط گز ای هی ت ا ین کز ص ت ص را در ε e xx e e e i i yy i i ε ξ,η = ε =B ξ,η.u γ xy σ ξ i,ηi e xx e e e i i yy i i σ ξ,η = σ =D.ε ξ,η σ xy ξ i,ηi ز قط اس الوبى هحبسج وبیین. پس ثزای قبط گ س دارین: -.6 e e e 7 ε ξ,η =B ξ,η.u =

40 -.5 e e e σ ξ,η =D ε ξ,η = e e e 7 ε ξ,η =B ξ,η.u = e e e σ ξ,η =D ε ξ,η = e e e 7 ε ξ,η =B ξ,η.u = e e e σ ξ,η =D ε ξ,η = e e e 7 ε ξ,η =B ξ,η.u = e e e σ ξ,η =D ε ξ,η = -.8.9

41 هثبل:هبتزیس سختی ثزدار یز یی الوبى هقبثل را 5,5)(,5) ) ثیبثیذ سپس ثزدار جبثجبیی را ثیبثیذ. 5 m m (,)(,)5kN/m γ = 78.5 kn/m by = =-.5 kn/m E= kn/m, t = cm, ν =. ν. E [D]= ν = 8. -ν (-ν). x i y i N ξ,η = -ξ -η, N ξ,η = +ξ -η N ξ,η = +ξ +η, N ξ,η = -ξ +η

42 Ni J xi yi Ni ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5( ) 5.77 J, J (5 5 ) 5( ) 5 5 ( ) 6(5 5 ).6 J,.58. 5( ) J 6 J,.577 قبط گ س ػجبرت ذ اس: η, Ni N N.... x N J (, ) N i N N.... y

43 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K i j B DB d B DB J d d,,, w w J B DB i j i j i j i j K (, ) w w J, B, DB, N(, )= [B, ] =

44 K B DBd B DB J d d K 7.75 u 5 u u u i j,,, w w J B DB i j i j i j i j ثذست هیآیذ ک جوؼب چ بر هبتزیس هی ض د ک ثب ن جوغ اس ػجبرت ف ق ثزای ز قط گ س یک هبتزیس سختی n n درای ث درای هیض ذ. - ξ =η = ثزای و هبتزیس سختی را در قط هیبثین: K(ξ,η )=[B ξ,η ] [D] [B ξ,η ] J ξ,η w w K(ξ,η )= SYM

45 [K]=K(ξ,η )+K(ξ,η )+K(ξ,η )+K(ξ,η ) [ K] SYM total b t F =F +F N N N N b N N N x Fb N. b. dω dω N b y b= -.5 F.5 J N N N N b F b=f b(ζ,η )+F b(ζ,η )+F b(ζ,η )+F b(ζ,η ) 5

46 N(ζ i,η i) N(ζ,η ) F.5 J(ζ,η) w w N(ζ i,η i) N(ζ i,η i) i i b i j i i ( ( ) 5( ( ) ( ( )( ( ) F b,.5 ) 6 ( ( ) ( ( )( ( ) F b, = =

47 F b F = N.t.dГ+ N.t.dГ+ N.t.dГ t Г,, Г,, Г,, t t t د ا تگزال ا ل هقذار صفز دار ذ چ ى ثبری در آى قسوت ب ارد ویض د. 5 t x = Nf +Nf = - ζ ζ = - ζ ثبر هتغیز ث تزتیت سیز در هزس تقزیت سد هی ض د: N 5 N - ζ F t.dг Г t,, N N - ζ - ζ 5 - ζ F t J(ζ) dζ + ζ + ζ Ft f (ζ )W = f (ζ )W +f (ζ )W i t i i t t 7

48 - (-( ) (-( ) - (-( ) 5 - (-( ) 5 (-( ) 5 (-( ) 5 F = + t - (+( ) (+( ) - (+( ) (+( ) F t = F total = F b +F t = K u = f 8

49 K 7.75 u5 u u u اس ثزدار یز یی تغییز هکبى را حبل ثزای حل هؼبدل ف ق سطز ب ست بی اس هبتزیس سختی سطز ب حذف هیک ین )ثذلیل ج د تکی گب در راستب ب تغییز هکبى ذارین( u u u u